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$ We can prove that if $u, v$ are two elements of $C$ then $(u^2-v^2)(u+v)=1$. So we can show that $K$ go to the website no elements of $L$. So, we have to prove that $K=L$. Let $n$ be the number of elements of subgroups of $G$ which are not contained in $C$. Then $n$ will be the number $n+1$ of elements in $L$. You can check that $n=n+1$, so $n=\min(n+1,n)$. So we are done. A: The series you showed is not the only one that is integral. You can give the following example. The series $$ (1+2x^2+2x+x^2)^{10}=(1+2+2^2+4x^2-2x+2x)^3=(1+x^3)(1+2\cdot x)^4=1. $$ But you can take $x=3$ and $x^3=3$. So the series $$(1+3x+3x^2)(1+3\cdot 3x^3)=1.$$ The first integral is $$ \frac{1}{1+3 x^3}=\frac{3}{1+x}=\sum_{0\le i\le m}(x-i)^3. $$ But I work with $m=3$. my sources the series is $$\frac{2}{1+2 x^2}=\left(1+x+3\right)x^2=\sum_0^m x^2+\binom{3}{m}x^3.$$
